Praktische Astronomie 2

Praktische Astronomie 2

ASTROGRAPH I - Fotografische Ortsbestimmung auf kleinmaßstäbigen Feldsternaufnahmen mit DSLR Kamera (Canon EOS o .ä.)

Für Liebhaber und Fotografen der Natur- und Sternkunde die stolzer Besitzer einer DSLR-Fotoausrüstung sind, ist es sicher reizvoll die Aufnahmen des Sternenhimmels auch auswerten zu können als messender Amateurtastronom mehr aus dem Bildinformationen herauszuholen.
Sofern man zu den Glücklichen zählt die einen von etwa jedes Jahr 9 im Sonnensystem neu auftauchenden Kometen begrüßen können, möchten diese sicher erfahren, welchen exakten Bahnverlauf dieser neue Himmelsköper in unserem Sonnensystem unter den Sternen einnehmen wird, deren Nebelkern des Protoplasmaplaneten im Schnittpunkt der Konvergenz von Lichtrahlen mehrerer Sterne kondensieren und geboren werden , deren Aufgabe es ist allte Planeten die in ihrer Sonne verglühen zu ersetzen, da die Planeten sich in unendlichen langen Kreisläufen auf Spiralbahnen um die Sonne bewegeun und ihr Zentralgestirn daher nicht überleben können, welche Umlaufzeit, Verlauf der Helligket, Länge des Schweifes und zu welchem Zeitpunkt dieser wiederkehrt oder schon von großen Planeten gemaßregelt in die Bahn eines Planeten oder Mondes übergeht. Von jährl. 9 entdeckten Kometen sind ewta 3 alte Bekannte.

Hierfür genügen 3 mit der DSLR und Teleobjektiv gewonnenen Aufnahmen des Himmelskörpers.
Die im Anschluss an die Vermessung von 3 Aufnahmen abgeleiteten oskulierenden Bahnelemente erlauben unter Einbeziehung der Bahnstörungen, die alle Planeten und die Sonne auf den Himmelskörper ausüben, sobald dieser dem Jupiter, Saturn oder Uranos nahe kommen, auch noch nach vielen Jahren die Position des Kometen im Teleskop exakt an den Teilkreisen einstellen und wiederfinden zu können.

Hier lohnt es sich bei spaceglobe.de den Kursus zu belegen >Wie werde ich ein erfolgreicher Kometenjäger<. Ein guter fotografischer Himmelsatlas wie der Atlas Stellarum, der alle Sterne und Nebel bis zu einer Grenzgröße von 14 mag enthält, ist eine ausgezeichnete Voraussetzung anhand dieses Vergleichsmaterial mittels Blinkkomparator neue Gestirne aufzuspüren. Konnte man ein verdächtig bewegendes, nebulöses Objekt finden, das in der Sternkarte nicht verzeichnet ist, sollte sich die Priorität der Entdeckung mittels Telegramm oder Fax direkt an die IAU oder nächste größere anerkannte Universitäts-Sternwarte sichern. Das Fax sollte Name und Anschrift enthalten und ein kurze Notiz >Kometen-verdächtiges Objekt bei (beispielsweise) RA 23h15m, Dek. +45°32', ca. 11 mag.<
Sollte sich vor Absendung des Fax kein anderer Beobachter gemeldet haben, erhält das Gestirn statt einer Registrationsnummer den persönlichen Familiennamen des Erstentdeckers. Solten unmittelbar mit dem eigenen Fax noch weitere Meldungen eingehen, erhält das neue Objekt zumeist ein Doppel- oder Dreifach-Namen des ersten, zweiten und dritten unmittelbaren Entdeckers.
Ein Fernglas mit mindestens 80-100 mm Öffnung erleichtert das visuelle Aufspüren in der Abend- und Morgendämmerung. Das CELESTRON 20 X 80 SKYMASTER FERNGLAS oder Omegon Fernglas 20 x 80 Nightstar ist mit rund 160-170 Euro preiswert. Das Ormegon 25 x 100 mm Nightsr schlägt schon mit dem doppelten Preis zu Buche - eine Anschaffung die sich lohnt.

Für einen guten fotografischen Sternatlas war früher noch über 200 DM hinzublättern. Der fotografische Atlas Stellarum enthält alle Himmelsobjekte bis zur Grenzgröße 14 mag auf 450 Kartenblättern im Format 36x37 cm im Maßstab 1' Bogenminute = 2 mm (Feldgröße ausgedruckt 33x33 cm) und ist heute auf DVD-ROM als digitale Biilddateien für etwa 29 EUR erhältlich.
Zusätzlich ist auf der bei http://www.stellarum.de/GERMAN/index.htm erhältlichen DVD-ROM der fotografische Falkauer Atlas (Maßstab 1 mm = 4' Bogenminuten) bis zur Grenzgröße 13 mag auf 428 Kartenblätter (Feldgröße 18x18 cm), der Atlas of Selected Areas und Atlas of Galatic Nebulae vorhanden. Dieser enthält alle galatkischen Nebel bis zur Grenzgröße 21 mag die mit einem Kometen verwechselt werden könnten. Der Kometenjäger verfügt damit über das beste, erfolgversprechende Equipment. Der USNO-SA1.0 catalog umfasst 50 000 0000 Sterne mit Grenzgrößen 17 bis 25 mag di noch viel weiter in das All dringen als der Atlas Stellarum mit etwa 14 mag.

Um auf den Karten bei der Identifizierung von Himmelsköper Platten- oder Kornfehler, Fehldruck-Mängel des Druckverfahren, Staubpartikel usw. auszuschließem, sind stets zwei fotografische Atlanten heranzuziehen die eindeutige Identifizierung von Himmelskörper zu ermöglichen. Der auf der DVD-Rom zusätzlich enthaltene Falkauer Atlas ist daher eine hervorragende Ergänzung zu dem Altlas Stellarum. Einer Sternwarte diffuse Refexionen an Linsen des Teleobjektiv zu melden wäre sicher für jeden Amateuer peinlich.

Bahnbstimmung.

Direkte mikrometrische Messungen der durch ein Fernrohr vergrößerten Winkel sind zeitlich schnell veränderlich, zudem stark von der Kondition und Konzentrationsfähigkeit des Beobachters abhängig, während Fotografien diese für das ganze Bild ein für allemal dokumentieren, wobei die Aufnahme sich in aller Ruhe am Schreitisch und Personalcomputer ausmessen lassen. Die durch Ausmessung von Fotografien gewonnenen Resultate sind daher meist genauer. Gegenüber der unmittelbaren visuellen Messung besitzt die längere Zeit belichtete Aufnahme jedoch den Nachteil der aufsummierten Luftunruhe (Szintillationseffekte), wodurch z. B. feine planetare Oberflächendetails meist so verwischt werden, daß die Ausmessung am Mikrometerokular eines Mikroskops (oder bit- bzw. pixelrasterweise am Computer) keinen Gewinn mehr erbringen. Das Herausrechnen von Rauschanteile durch Bildbearbeitungsprogramme verbietet sich zumindest bei astrometrischen Messungen. Die direkte Bebonachtung des mit bloßem Auge direkt messenden Amateur durch das Telskop ist z. B. bei Beobachtung und Messung planetographischer Details auf den Planeten Mars, Jupiter genauer als evlt. mittels Bildverarebitungsprogramem gestackte, gemittelte und geschäfte Masterbild aus Serienbilder.

Die durch Luftunruhe verursachten Ortsschwankungen der Sterne erreichen meist 0.1'' bis zu einigen Bogensekunden. Bei Sternenfeldaufnahmen liegen die Primärbrennweiten allerdings zwischen 50-1000 mm, so dass die Ortsschwankung hier 120'' und 6'' erreichen müßten, um auf der Bildeben von Analog- oder Sensorkameras registriert zu werden. Für die Bahnbestimmung eines Erdsatelliten, Planeten, Planetoiden oder Kometen sind mindestens 3 genaue Positionen des Objekts in Rektaszension und Deklination an verschiedenen nicht nahe beieionandeliegende Kalendertagen verforderlich.
Das Sternenumfeld des Objekts wird durch ein Teleobjektiv, zumeist eine am Okularstutzen des Teleskops angeschraubte Spiegelreflexkamera oder CCD-Astrokamera, aufgenommen und am Schreibtisch bzw. Computer ausgemessen. Eine 24x36 mm2 Kleinbildaufnahme bildet bei F=1000 mm Brennweite eine rechteckige Himmelsfläche von 2.1 x 1.4 Grad ab (= 36 mm/1000 mm * 57.29578), wobei ein runder Fernrohrtubus das Bildfeld entsprechend modifizieren kann. Da bei eingeschränktem Bildfeld weniger bekannte Anschlußsterne vorhanden sind, vermeidet man i.A. sehr lange Brennweiten.

Infolge des Himmelumschwungs bewegt sich ein Stern um 15.04107'' * cos d (d Deklination des Sterns) pro Sonnenzeitsekunden. Bei F=1000 mm Brennweite der Optik, entspricht 1'' (Winkelbogensekunde) am Himmel linear 0.00485 mm auf dem Film ([= 1'' * F 1000 mm)/206264.8906''].

Ein Stern mit der Deklination -15.3° (Plattenmitte) bildet demnach auf der Aufnahme [(F=1000 mm) 0.0048 mm * 15.04'' * cos d -15.3;(248); =] eine Spur von 0.07 mm Länge pro Zeitsekunden. Das Auflösungsvermögen der Photoemulsion liegt bei 0.025 mm, das eines CMOS Chip bei 0.004 mm. Ab (0.03 mm/0.07 mm =) 0.4 Sek. Belichtungszeit wird ein Stern somit nicht mehr punktförmig, sondern als Strichspur abgebildet. Um punktförmige Sternabbildungen bei langen Brennweiten zu erhalten, ist das Objekt der täglichen Himmelsumdrehung durch einen elektrischen Fernrohrantrieb oder manueller Feinbewegung durch ein Leitfernrohr an einem Leitstern sorgfältig nachzuführen. Wegen der Eigenbewegung des Objekts (Komet, Kleinplanet) sollte die Belichtungszeit unter 15 Minuten liegen. Datum u. Uhrzeit (Weltzeit UTC Funkuhr) der Aufnahme für die Belichtungszeitmitte.
Beispiel: Brennweite des Objektivs F=1000 mm. Tägliche Bewegung »w« eines Kleinplaneten in Deklin. d1-d = 0.1°, in Rektaszension ar1-ar = 0.4°; d,d1, ar,ar1 = Deklination an einem (d=23.123° 0h TDT) und am folgenden Tag (d1=23.223° 0h TDT); Tägl. Bewegung w 0.38108° = SQR(0.1^2+(0.4*COS(0.5*(d1+d)))^2). (0.38108°/(1440 Min. * 57.29577951))*F 1000 mm = 0.004619 mm/Min. Wird die Kamera den Sternen nachgeführt, zieht der Kleinplanet infolge Eigenbewegung eine Lichtspur von 0.0046 mm Länge pro Minute. Nach 4.6 Min. (0.02 mm Auflösung Emulsion/ 0.0046 mm/Min.) Belichtung wird der Kleinplanet als Strichspur abgebildet.

Die jeweilige Position innerhalb der Belichtungszeit findet man durch Ausgleichsrechnung. Rektaszension: arn = ao+b*tn, Deklination: dn=do+c*tn; t1,t2...,n usw. sind Zeitpunkte der gemessenen Orte ar1,d1,ar2,d2...,n usw. die Koordinaten des
Kleinplaneten (n= Anzahl).

[ar] = S ar1+ar2+ar3...,n

[t] = S t1+t2+t3...,n

[tt] = S t1*t1+t2*t2+t3*t3..,n

[art] =S ar1*t1+ar2*t2+ar3*t3...,n

REM NORMALGLEICHUNG FÜR ZWEI UNBEKANNTE (LINEARE REGRESSION)

REM n ao + [t] b = [ar]

REM [t] ao + [tt] b = [art]

Die Bedingungsgleichung für Eigenbewegung in Deklination d=do+c*t wird analog berechnet.

Die Korngröße der Photoemulsion liegt bei 0.001-0.005 mm. Bei einer Brennweite von 300 mm entspricht 1'' auf dem 36x24 mm Negativfilm 300/206264.806'' = 0.0014544 mm. Die Größe der Körner liegt demnach etwa bei 0.003 mm/0.00145 = 2.1''. Bei einem Objektiv mit 50 mm Brennweite entspricht 1'' auf dem Film linear 0.000242 mm. Die Korngröße liegt dann bei 0.003/0.000242 mm = 12.4''.

Um sich vor Filmemulsionsfehlern und Hotpixel zu schützen, sind am besten mehrere Aufnahmen zu belichten. Die genaue Position des Objekts findet man durch Anschluss an die Referenzsterne des vom Himmelsglobus dargestellten Sternfeldes der Aufnahme oder eines extern verwendeten astrometrischen Sernkataloges (PPM-, Hipparcos-Catalogue s. ftp:\\spaceglobe.diskstation.eu\public\spaceglobe\Astronomy Reference System\ Catalogue).

Anhand des Himmelsglobus oder am Gradnetz einer handelsüblichen übersichtlichen Himmelskarte, sind die Anhaltssterne mittels der im Sternkatalog tab. Rektaszension und Deklin. (siehe photographischer Sternatlas: Atlas Stellarum [Maßstab 1 mm = 2 Bogenminuten] oder Falkauer Atlas, ehemals Treugsell-Verlag, Dr. Vehrenberg KG, Düsseldorf, oder www.stellarium.de ) leicht zu identifizieren.

Je bei geringer Höhe über dem Horizont aufgenommenen Sterne, macht sich die Extinktion und differentielle Refraktion der Atmosphäre bemerkbar. Um diese klein zu halten bzw. auszuschließen, das Objekt erst nach erreichen einer möglichst großen Höhe aufnehmen.

Die Ausmessung der Fotoplatten erfolgt gewöhnlich an einem auf 1 bis 2 tausendstel Millimeter lineargenauen Präzisionsmessapparatur (Kreuztisch) mit Ablesemikroskop, der Winkel- bzw. Positionsgenauigkeiten um 0.01'' ermöglicht.

Um durch Ausmessung von 24x36 mm2 Kleinbildfilm eine Bogensekunde Mindestgenauigkeit zu erzielen, vergrößert man das Foto oder Bitmap mit einem Diaprojektor oder am Monitor auf das x-fache (1'' bei F=300 mm Brennweite und 100facher Vergr. sind dann z. B. 0.14544 mm der Projektionsfläche). Die Auflösung von hochempfindlichem Filmmaterial liegt bei 50 Linien/mm (1/50 = 0.02 mm), von geringer empfindlichem Korn bei 120 Linien/mm (0.0083 mm). Bei 100facher Vergrößerung beträgt die Korngröße also bereits etwa 0.3 mm. Geringer empfindliche bzw. feinkörnigere Materialien liefern daher genauere Positionsergebnisse. Chips die schon 18 Megapixel umfassen lassen sich pixelgenau ausmessen.

Das Bild (Negativ, Dia-Positiv oder Bitmap) darf keinesfalls verzerrt (gekippt oder schräg) projiziert werden, da die optische Achse des Diaprojektors genau senkrecht auf der Projektionswand stehen muß (ein an der Projektionswand anliegender ebener Spiegel reflektiert dann den Lichtstrahl der Justierblende [kleine Lochblende] auf sich selbst zurück). Am beeten egtnet sich bei DSLR kameras das RAW-Format zum auaswerten.

Um das zu vermessende Objekt (Punkt auf der Meteorspur, Sternabbilung eines Kleinplat o.ä.) sollten mindestens 5 (nicht weiger als 3) darum verteilte Bezugssterne liegen (zur Genauigkeitserhöhung soweit vorhanden bis zu 10) auf einem Bogen Millimeterpapier auf 1/10 mm markieren oder an der Projektionswand (Monitor) direkt ausmessen.

Den Vergrößerungsfaktor ermittelt man durch Division des berechneten Gradabstandes (d) zweier Sterne in Millimeter (d') auf dem Film durch den jeweils gemessenen Millimeterabstand auf dem Projektionsbild.

Referenzstern Nr. 2 besitzt die AR1 (Rektaszension) 0h16m53.972s (0+16/60+53.972/3600 =) 0.28165878h * 15° = AR1 4.22881749°, Deklin. d1 -15°28'26.89'' = d1 -15.47413693°. Referenzstern Nr. 4 (PPM 208601) AR2 0h17m14.426s = AR2 4.310106818°, Deklin. d2 -14°59'44.89'' = d2 -14.99580197° (einschließich Eigenbewegung in -11.322528 julian. Jahren).Der Winkelabstand der zwei Sterne an der Sphäre beträgt dann:

ARCCOS d = sin(d1) sin(d2) + cos(d1) cos(d2) cos(AR1 - AR2) = d 0.485351473° * 3600'' = 1747.265'' * 0.004848 mm = Abstand auf dem Kleinbildfilm d' 8.47074 mm. Gemessener Abstand der zwei Sterne der Diaprojektion/Bitmap: 101.65 mm/8.47074 mm = Vergrößerungsfaktor der Kleinbildaufnahme 11.99979x.

Brennweite der Aufnahmeoptik F=1000 mm. Vergrößerung 11.99979x. Effektive Brennweite 1000 mm * 11.99979 = 11999.79 mm * 1/206264.8 = Maßstab: 1'' : 0.0581766 mm = (1/0.0581766 mm) = 1 mm : 17.189''.

Alternativ lässt sich die gemessene Seitenlänge des Negativs [ca. 23x35 mm2 Maskenausschnitt des Diarahmens] durch die projizierte dividieren. Mathematische Beziehung: Bildseitenlänge = Projektionsabstand (Meter m) * Diaseitenlänge (mm) / Objektivbrennweite.

6.005 m gemessener Projektionsabstand * 35.01 mm Diaseitenlänge / 85 mm Objektivbrennweite des Diaprojektors = projizierte Bildseitenlänge 2.47335 m / 0.03501 mm = 70.64695fache Vergrößerung. Die konstante Brennweite ist exakt zu bestimmen: Brennweite 85.00 mm = 6.0050 m * 35.01 mm / 2.473353 m projizierte Bildseitenlänge.

Einen Blink-Komparator wird verwendet um irgendwelche Veränderungen auf zeitlich verschiedenen Aufnahmen des gleichen Himmelsareals festzustellen. Entsprechende Astroprogramme enthalten einen Blnk-Komperator. Optisch wird eine blitzschnelle wechselseitige Abdeckung der Bilder erzielt, wobei auf optischem Wege der Eindruck erweckt wird ein deckungsgleiches Bild zu betrachten. Ein nur auf einer Aufnahme vorhandenes Objekte (Komet, Kleinplanet, Novae, Hotpixel usw.), das auf der anderen fehlt, verrät sich aufgrund der hohen Bildwechselfrequenz durch den Blinkeffekt.

Provisorisch ergeben zwei Diaprojektoren denselben Effekt. Projektionsbilder zweier zeitlich verschiedener Aufnahmen gleichen Himmelsareals zur Deckung bringen. Objekte einer Aufnahme, die auf der andern fehlen, blinken infolge schneller, wechselseitiger Ein- und Ausschaltung der Projektoren (Stromwechsel ggf. mittels Magnetschalter elektron. regeln). Allerdings hat die Computerbildverarbeitung auch die opt. Apparate längst überholt. Der Graphikspeicher enthält die jeweils mit einem Scanner digitalisierte Astroaufnahme oder liest den Bildspeicher der Kamera unmittelbar aus, wobei der Bildspeicher in eine Stringvariable eingelesen wird. Liegen die Variablen zweier Bildschirmseiten (sreen1$, sreen2$) bzw. mehrerer Graphikspeicher vor, erscheinen diese einfach in schnell wechselnder Folge auf dem Monitor (Pages-Flipping), so daß helligkeitsveränderliche Objekte blinken oder bewegungsveränderliche Objekte hin- und herspringen. Auf diese Weise sind auch Bildanimationen (Filmsequenzen) einfach zu realisieren.

Im einfachsten Falle, wird die frühere und spätere Aufnahme auf dasselbe Fotopapier etwas versetzt reproduziert oder am Monitor durchscheinend wiedergegeben. Alle Sterne erscheinen darauf doppelt mit konstantem Abstand, während bewegte Objekte durch Fehlen eines Doppelbildes herausfallen.

Gemessen werden die rechtwinkligen x-,y-Koordinaten des Objekts und der umliegenden Anhaltsterne (mindestens 3) in Millimetern ab Nullpunkt des Koordinatenkreuzes (Mitte des Aufnahmefeldes x=0, y=0), das ungefähr parallel des Rektaszensionskreises (+y-Achse) nach Norden und +x-Achse nach Westen (im umkehrenden Teleskop unten und links) orientiert wird. Die mehrmals hin- und zurück gemessenen Werte mitteln, Platte oder Negativ evtl. um 180 Grad drehen, Messungen wiederholen und mitteln. Einer der Referenzsterne liegt zur Markierung des Koordinatenkreuzes am besten in der Plattenmitte, um deren Koordinate zu erhalten. Das x-/y-Koordinatenkreuz läßt sich zudem anhand berechneter x-,y-Werte umliegender Bezugsterne (5-10 Sterne) leicht einmessen.

z=ARCTAN(TAN(d)/COS(AR-A))

x = -r*((COS(z)*TAN(AR - A))/COS(z - D))

y = r*TAN(z - D)

A,D = Rektaszension und Deklination der Plattenmitte sorgfältig anhand eines fotografischen Sternatlas bestimmen (B1950, J2000), da die Präzision des eingemessenen Koodinatenkreuzes davon abhängt; r=effektive Brennweite der Aufnahmeoptik (F=1000 mm x 11.99979fache Vergr. des Dia = r=11999.79 mm); d, AR = Deklnination und Rektazension der ausgesuchten Anhaltsterne; x,y = ideal mathematisch berechnete Rechteckkoordinaten der gemessenen x-/y-Anhaltsterne.

Die Koordinate des Objekts werden von der Koordinate der optischen Achse (Bildmitte) kaum beeinflußt.

Die Messung der x-,y-Werte der Referenzsterne bzw. des Objekts der Aufnahme (Meteorspur, Planetoid, Komet usw.) erfolgt dann ab dem dadurch eingemessenen Standardkoordinatenkreuz (Fig. 42). Gleichmäßig über die Aufnahme verteilte Referenzsterne auswählen, da die Ausgleichung der Plattenfehler davon abhängt.

Beispiel (Fig. 40). Ausmessung einer Kleinplanetenaufnahme vom 5.9.1988, 1h4m14s UT. Plattenmitte: 0h16m28.8s AR, -15°20'36'' Deklination (AR u. Deklin. der Plattenmitte = x=0,y=0). Beobachtungsort: +49°23'54.6'' n. Br., +8°43'17.9'' östl. Länge, NN = 570 m.

Bei ziemlich genau ausgerichteter parallaktischer Montierung des Teleskops bzw. der Kamera, kann auch ab der Randbegrenzung des Bildmaterials gemessen werden, sofern dieser scharf genug erscheint, da die Seiten dann eine äquatoriale Ausrichtung aufweisen, wodurch die Reduktion auf die Bildmitte entfällt, oder anhand eines eingezogenen Strichkreuzes durch Mittelung der Längs- und Breitseite des Negativs oder Bitmaps.

Eingabe folg. Werte:

Referenzsterne (mittl. astrometr. Katalog- bzw. Sternort bzw. Äquinoktium J2000, FK5):

1) AR 0h 15m26.500s, p.m. -0.0008s x = 52.33 mm d -15°37'32.42'' p.m. -0.023'' y = -59.17 mm

2) AR 0h16m53.992s, p.m. +0.0018s x = -21.25 mm d -15°28'27.21'' p.m. -0.028'' y = -27.41 mm

3) AR 0h17m08.833s, p.m. +0.0025s x = -33.72 mm d -15°39'27.94'' p.m. 0.017'' y = -65.89 mm

4) AR 0h17m14.463s, p.m. +0.0033s x = -38.60 mm d -14°59'45.34'' p.m. -0.040'' y = +72.78 mm

Objekt Kleinplanet: x = 29.95 mm y = -39.80 mm

(p. m. = proper motion: Eigenbewegung in AR und Deklin. pro Jahr)

Topozentrische astrometrische Koordinaten t1,t2,t3 (3 Ortsbestimmungen für die Bahnberechnung) des Planetoiden Ceres (= mittl. Ort J2000/FK5 der Bezugssterne) mittels fotografischer Ortsbestimmung (Ausgabe: Rektaszension und Deklination):

t1 5.09.88, 1h04m14s UT a1 00h15m53.13s, d1 -15°31'59.7''

t2 9.10.88, 22h09m34s UT a2 23h48m03.20s, d2 -17°54'12.0''

t3 6.11.88, 20h59m04s UT a3 23h35m44.30s, d3 -17°04'41.0''

Bei Aufnahmen mit nur wenigen Grad Durchmesser und Bezugssterne in nicht allzu hoher Deklination, können mittlere Sternörter der Standardepoche J2000 verwendet werden. Daran angeschlossen ergibt sich direkt der mittlere Ort des Objekts zur Standardepoche der Anhaltsterne. Für polnahe Sterne oder Sternfeldaufnahmen größeren Durchmessers muss der genaue scheinbare Sternort sämtlicher Bezugsterne einzeln für Datum und Zeitpunkt der Aufnahmemitte berechnet werden. Daran angeschlossen erhält man den scheinbaren Ort des Objekts, wahres Äquinoktium des Aufnahmezeitpunktes (UTC Mitte der Belichtungszeit).

Der Himmelsglobus liefert den astrometrischen geozentrischen ubd topozentrischen Ortes der Standardepoche B1950.0/FK4 (mit E-Terme der Aberration) und J2000/FK5 (ohne E-Terme) und des scheinbaren geozentrischen ubd topozentrischen. Ortes, Äqunioktium des Datums.

Ausgabe des Himmelsglobus: Auf der Platte betimmter scheinbarer Ort des Planetoiden Ceres am 5.9.1988, 1h04m14s UT: AR 0h15m20.288s, Deklin. d -15°35'34.01''.

Astrometrischer Ort J2000/FK5: AR 0h15m53.13s, Deklin. d -15°31'59.7'', astrometrischer Ort B1950/FK4: AR 0h13m20.557s , Deklin. d-15°48'39.89''.

Der geometrische Ort, korrigiert für Lichtzeit (Planetenaberration) + E-Terme der jährlichen Aberration eines Körpers des Sonnensystems, bezogen auf eine Standardepoche der Präzession (Normalort B1950, J2000), nennt man den astrometrischen Ort (ab 1984 ohne E-Terme) des Objekts (bei Sternen = mittlerer Ort, Äquinoktium der Epoche).

Die Reduktion mittlerer Katalogörter der Epoche B1950 oder J2000 für Eigenbewegung und jährlichen Parallaxe der Sterne auf den photographischen Aufnahemzeitpunkt des Objekts, ergibt vergleichbare Katalogörter. Die graphische Wiedergabe kann somit ohne weiteres auf eine entsprechend (für Eigenbewegung und Parallaxe der Sterne) reduzierte Sternkarte der fixen Präzessionsepoche B1950.0 oder J2000 erfolgen. Sternpositionen fotografischer Sternatlanten sind natürlich mit der Eigenbewegung und jährlichen Parallaxe der Sterne behaftet und daher nur für den Aufnahmezeitpunkt streng gültig, wobei sich die Präzession der Äquinoktium (langsame westliche Wanderung des Aries-Punktes = Null-Länge der Koordinatenzählung) meist auf die Standardepoche Epoche B1950 oder J2000 bezieht.

Als Astrograph wird die speziell für Sternfeldaufnahmen verwendete Kamera bezeichnet. Die astrometrischen (=astrographischen) Örter der Aufnahme werden mit dem Koordinatenmessapparat ausgemessen und mit Hilfe eines Computers berechnet. Digitale CCD-Kameraaufnahmen werden entsprechend vermessen.

Die auf Schmidtspiegel-Platten der Sternwarte Hamburg-Bergedorf ausgemessenen Positionen von Kometen und Planetoiden haben durchschnittlich 0.1 bis 0.2 Bogensekunden Genauigkeit. Der 1930 in Betrieb genommene Schmidt Spiegel besitzt 120 cm Durchmess, 240 cm Brennweite, 1:3 Öffnungsverhältnis und 16 Grad Bildfelddurchmesser.

Der 1897 aufgestellte Yerkes-Refraktor (Yerkes Obs., University of Chicago) ist mit 40 Zoll Öffnung (1020 mm) und 19.97 m Brennweite (=8.3x länger als die des Hamburger Schmidt-Spiegel) noch heute das größte Linsenfernrohr der Welt. Sternpositionen werden damit auf 0.01 Winkelsekunden (=0.001 Zeitsekunden) ermittelt.

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REM leichtevertändliches und simpel adatptierbare BASIC Algorithmen ASTROGRAPH I FÜR KLEINMASSTÄBIGE FELDSETRNAUFNAHMEN ÜBLICHER FOTOAPPARATE.
REM Läuft einwandfrie im GFA 16 Interpreter auf x86 basierende Systeme mit 32 Bitt Bestriebssystem.

DEFFN gzb(x) = ATN(1 / (1 + 0.006739501819 * (6378140 / (6378140 + eh))) * TAN(x))

DEFFN ro(x) = 6356755.288157 / SQR(1 - 0.006694384999591 * COS(ATN(0.993305615 * TAN(x))) ^ 2) + eh

DEFFN r(x) = x - INT(x / (2 * PI)) * (2 * PI)

DIM ar(20),dek(20),ar1(20),dek1(20),x(20),y(20),x1(20),y1(20),ko(10),ko1(10),koo(10),p1(5,5),p(5,5),xo(20),yo(20),n(20),aa(20),dd(20),w1(20),w2(20),w3(20)

GOSUB astrogra

PROCEDURE astrogra

REM -- ASTROGRAPH I - PHOTOGRAPHISCHE ORTSBESTIMMUNG --

k1 = RAD(20.49552 / 3600)

neu:

CLS

PRINT AT(1,1);"- ASTRONOMISCHE ORTSBESTIMMUNG -"

PRINT AT(1,3);"DATUM (TT.MM.JJJJ)...........................: ";

REM INPUT "",a$

a$="17.8.1988" //-------------------

a1 = ABS(LEN(a$) - 2)

a2 = VAL(LEFT$(a$,2))

a3 = VAL(MID$(a$,4 + (a2 < 10),2))

a4 = VAL(RIGHT$(a$,a1 + (a2 < 10) + (a3 < 10) + (a2 > 9) * 2 + (a3 > 9) * 2))

IF a2 = 0 OR a1 > 10 OR ABS(a2) > 31 OR ABS(a3) > 12 THEN

GOTO neu

ENDIF

GOSUB jd

PRINT AT(1,4);"UHRZEIT (UTC AUFNAHMEMITTE h,m,s).............: ";

REM INPUT "",h,m,s

h = 3

m=26 //-------------------------

s = 30

ut = h + m / 60 + s / 3600

PRINT AT(1,5);"KORREKTIONSWERT FÜR EPHEMERIDENZEIT (SEK)....: ";

REM INPUT "",ddt //ddt=TDT-UT

ddt=56 //---------------

ddt = ddt / 3600

PRINT AT(1,6);"H™HÖHE ÜBER N.N. (METER).......................: ";

REM INPUT "",eh

eh = 200

PRINT AT(1,7);"GEOGRAPHISCHE BREITE (o,','')................: ";

REM INPUT "",h$,m,s

h$ = "50"

m=0 //----------------------

s = 0

GOSUB grad //KOORDINATEN BEOBACHTRUNGSSTATION

br=FN gzb(g) //FÜR TÄGL. ABERRATION

p1 = FN ro(g) / 6378140

PRINT AT(1,8);"GEOGRAPHISCHE LÄNGE (o,','').................: ";

REM INPUT "",h$,m,s

h$ = "6"

m=0 //---------------------

s = 0

GOSUB grad

lgeo = DEG(g)

jdbeo=jd+(ut+ddt)/24 //JULIAN. DATUM DER AUFNAHMEMITTE

PRINT AT(1,9);"KATALOGEPOCHE REFERENZSTERNE (1950.0, 2000.0): ";

REM INPUT "",ep

ep=1950 //-----------------

PRINT AT(1,10);"BESSEL/FK4 ODER JULIAN./FK5 B,J.............: ";

REM INPUT "",ep$

ep$="B" //------------------------

ep$=UPPER$(ep$) //BEFEHL GROSSBUCHSTABE

IF ep$ = "B" THEN

jdep = 2415020.31352 + 365.242198781 * (ep - 1900)

ENDIF

IF ep$ = "J" THEN

jdep = 2451545 + 365.25 * (ep - 2000)

ENDIF

t1 = (jd - 2451545) / 36525

t = (jdbeo - 2451545) / 36525

GOSUB nut

GOSUB osz

jdd=(jdbeo-jdep)/365.25 //DIFFERENZ AUFNAHMENITTE-EPOCHE IN JULIAN. JAHREN

PRINT AT(1,11);"PRIMÄBRENNWEITE DER AUFNAHMEOPTIK (mm)......: "; //IN MILLIMETER

REM INPUT "",f

fo=20 //------------------

PRINT AT(1,12);"ANZAHL REFERENZSTERNE........................: ";

REM INPUT "",anz

anz=5 //---------------

CLS

i = 1

PRINT AT(1,2);"KATALOG-REKTASZENSION STERN AUFNAHMEMITTE (h,m,s): "; //AR DER OPTISCHEN ACHSE

REM INPUT "",h$,m,s

h$ = "20"

m=2 //----------------------

s = 0

GOSUB grad

ar(i) = g * 15

REM EIGENBEWEGUNG BEZOGEN AUF DIESELBE EPOCHE WIE AR UND DEKLIN.

PRINT AT(1,3);"EIGENBEWEGUNG STERN AR AUFNAHMEMITTE (ZEITSEK.)..: "; //FALLS STERN INMIITEN DER AUFNAHME GEMESSEN SONST pm = 0

REM INPUT "",pm

pm=0 //--------------------

ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)

PRINT AT(1,4);"KATALOG-DEKLINATION STERN AUFNAHMEMITTE (o,','').: "; //DEKLIN. OPTISCHE ACHSE

REM INPUT "",h$,m,s

h$ = "13"

m=50 //-----------------

s = 0

GOSUB grad

dek(i) = g

PRINT AT(1,5);"EIGENBEWEGUNG STERN DEKLIN. AUFNAHMEMITTE ('')...: ";

REM INPUT "",pm

pm=0 //------------------

dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd

PRINT AT(1,6);"JÄHRL. PARALLAXE ('')............................: "; //FALLS AM STERN INMITTEN DER AUFNAHME GEMESSEN, SONST p = 0

REM INPUT "",p

p=0 //---------------------

GOSUB appapos

do = dek(i)

aro = ar(i)

CLS

GOTO jump //----------------

FOR i=1 TO anz //EINGABE REFERENZSTERNE

PRINT AT(1,2);i;") KATALOG-REKTASZENSION REFERENZSTERN (h,m,s): ";

INPUT "",h$,m,s

GOSUB grad

ar(i) = g * 15

REM EIGENBEWEGUNG BEZOGEN AUF DIESELBE EPOCHE WIE AR UND DEKLIN.

PRINT AT(1,3);i;") EIGENBEWEGUNG AR REFERENZSTERN (ZEITSEK.)..: ";

INPUT "",pm

ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)

PRINT AT(1,4);i;") KATALOG-DEKLINATION REFERENZSTERN (o,','').: ";

INPUT "",h$,m,s

GOSUB grad

dek(i) = g

PRINT AT(1,5);i;") EIGENBEWEGUNG DEKLIN. REFERENZSTERN ('')...: ";

INPUT "",pm

dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd

PRINT AT(1,6);i;") J¥HRL. PARALLAXE ('')......................: ";

INPUT "",p

GOSUB appapos

PRINT AT(1,7);i;") x-,y-MESSUNG REFERENZSTERN (mm)............: "; //IN MILLIMETER

INPUT "",x(i),y(i)

REM STRENGE STANDARDKOORDINATEN X,Y

j = SIN(dek(i)) * SIN(do) + COS(dek(i)) * SIN(do) * COS(ar(i) - aro)

x1(i) = (COS(dek(i)) * SIN(ar(i) - AR)) / j

y1(i) = (SIN(dek(i)) * COS(do) - COS(dek(i)) * SIN(do) * COS(ar(i) - aro)) / j

CLS

NEXT i

jump: //------------------

REM EINGABE REFERENZSTERNE

REM (BEI VERWENDUNG OBIGER INPUT-EINGABESCHLEIFE DIESEN TESTTEIL LÖSCHEN)--

i=1 //NR. 1

h$ = "20"

m = 2

s = 49.691

GOSUB grad

ar(i) = g * 15

pm = 0.0009

ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)

h$ = "14"

m = 9

s = 38.11

GOSUB grad

dek(i) = g

pm = -0.015

dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd

p = 0

GOSUB appapos

x(i) = 0.9139

y(i) = 1.12604

REM ----------------------------------------------

i=2 //NR. 2

h$ = "20"

m = 3

s = 58.936

GOSUB grad

ar(i) = g * 15

pm = -0.0001

ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)

h$ = "13"

m = 39

s = 13.67

GOSUB grad

dek(i) = g

pm = -0.001

dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd

p = 0

GOSUB appapos

x(i) = 0.82013

y(i) = 0.94729

REM ----------------------------------------------

i=3 //NR. 3

h$ = "20"

m = 0

s = 44.093

GOSUB grad

ar(i) = g * 15

pm = -0.0006

ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)

h$ = "13"

m = 32

s = 0.31

GOSUB grad

dek(i) = g

pm = -0.037

dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd

p = 0

GOSUB appapos

x(i) = 1.09641

y(i) = 0.91136

REM ----------------------------------------------

i=4 // NR. 4

h$ = "20"

m = 2

s = 45.502

GOSUB grad

ar(i) = g * 15

pm = 0.0047

ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)

h$ = "13"

m = 37

s = 15.97

GOSUB grad

dek(i) = g

pm = -0.011

dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd

p = 0

GOSUB appapos

x(i) = 0.92378

y(i) = 0.93787

REM ----------------------------------------------

i=5 // NR. 5

h$ = "20"

m = 2

s = 27.265

GOSUB grad

ar(i) = g * 15

pm = 0.0008

ar(i) = FN r(ar(i) + RAD((pm * 15) / 3600) * jdd)

h$ = "13"

m = 55

s = 47

GOSUB grad

dek(i) = g

pm = -0.011

dek(i) = dek(i) + RAD(pm / 3600) * jdd

p = 0

GOSUB appapos

x(i) = 0.94719

y(i) = 1.04618

REM ----------------------------------------------

REM STRENGE STANDARDKOORDINATEN X,Y BEOBACHTUNG MINUS RECHNUNG

FOR i = 1 TO anz

j = SIN(dek(i)) * SIN(do) + COS(dek(i)) * COS(do) * COS(ar(i) - aro)

x1(i) = (COS(dek(i)) * SIN(ar(i) - aro)) / j

y1(i) = (SIN(dek(i)) * COS(do) - COS(dek(i)) * SIN(do) * COS(ar(i) - aro)) / j

NEXT i

REM ---------------------

GOSUB ausgleich

CLS

PRINT AT(1,1);"BESTIMMUNG DER PROJIZIERTEN/KOPIERTEN NEGATIVVERGRÖSSERUNG"

PRINT AT(1,2);"NR. ZWEIER REFERENZSTERNE GEMESS. WINKELDISTANZ A,B: ";

REM INPUT "",nr1,nr2

nr1 = 2

nr2=4 //---------------

PRINT AT(1,3);"GEMESSENE WINKELDISTANZ STERN NR. ";nr1;" ZU ";nr2;" (mm)......: "; //MILLIMETER

REM INPUT "",dis

dis=101.65 //--------------

d = ACOS(SIN(dek(nr1)) * SIN(dek(nr2)) + COS(dek(nr1)) * COS(dek(nr2)) * COS(ar(nr2) - ar(nr1)))

d=DEG(d)*3600 //DISTANZ DER ZWEI STERNE IN BOGENSEKUNDEN

f1=fo/206264.8062471 //1'' (BOGENSEK.) AM HIMMEL = F1 MILLIMETER AUF DEM NEGATIV

v=dis/(d*f1) //VERGRÖSSERUNG DER DIAPROJEKTION/KOPIE GEGENšBER DEM NEGATIV

r=fo*v //EFFEKTIVE BRENNWEITE IN MILLIMETER

f2=r/206264.8062471 //MASSTAB 1'' AUF DER DIAPROJEKTION/KOPIE = F2 MILLIMETER

f3=1/f2 //1 mm DER DIAPROJEKTION/KOPIE = f3 BOGENSEKUNDEN

CLS

PRINT AT(1,1);"ANZAHL MESSUNGEN OBJEKT: "; //GERADE MEHRFACH HIN UND ZURÜCK MESSEN

REM INPUT "",ns

ns=1 //------------------

PRINT AT(1,2);SPC(50)

j = 0

GOTO ik //----------------

FOR i = 1 TO ns

j = j + 1

PRINT AT(1,j);j;") MESSUNG OBJEKT x,y (mm): "; //EINGABE MILLIMETER

INPUT "",x(i),y(i)

NEXT i

ik: //-------

x(1) = 0.95046

y(1) = 0.99977

FOR i = 1 TO ns

xo(i)=koo(2)*x(i)+koo(3)*y(i)+koo(1) //AUSGEGLICHENDE STANDARDKOORDINATEN

yo(i)=ko1(2)*x(i)+ko1(3)*y(i)+ko1(1) //DES GEMESSENEN OBJEKTS

j = COS(do) - yo(i) * SIN(do)

ar1(i)=FN r(aro+ATN(xo(i)/j)) //REKTASZENSION OBJEKT

dek1(i)=ATN((SIN(do)+yo(i)*COS(do))/SQR(xo(i)^2+j^2)) //DEKLINATION OBJEKT

NEXT i

FOR i = 1 TO ns

n(i) = xo(i)

NEXT i

GOSUB sig

PRINT AT(1,1);"AUSGEGLICHENE STANDARDKOORDINATEN DES OBJEKT:"

PRINT AT(1,2);USING "X: ##.######### ",mw;

PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig

FOR i = 1 TO ns

n(i) = yo(i)

NEXT i

GOSUB sig

PRINT AT(1,3);USING "Y: ##.######### ",mw;

PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig

FOR i = 1 TO ns

n(i) = DEG(ar1(i)) / 15

NEXT i

GOSUB sig

arap = RAD(mw) * 15

GOSUB sexa

IF ep$ = "J" THEN

PRINT AT(1,4);"SCHEINBARER ORT OBJEKT, WAHRES ÄQUINOKTIUM DES DATUM/FK5:"

ELSE

PRINT AT(1,4);"SCHEINBARER ORT OBJEKT, WAHRES ÄQUINOKTIUM DES DATUM/FK4:"

ENDIF

PRINT AT(1,5);USING "AR.....: ## h ## m ##.### s",h,m,s;

PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig

FOR i = 1 TO ns

n(i) = DEG(dek1(i))

NEXT i

GOSUB sig

dekap = RAD(mw)

GOSUB sexa

PRINT AT(1,6);"DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s;

PRINT "/ m.F. ";mf;"/ Streuung ";sig

GOSUB app //SUBROUTINE MITTL. ORT

arj=AR //MITTL. AR

dj=d //MITTL. DEKLIN.

mw = DEG(AR) / 15

GOSUB sexa

IF ep$ = "J" THEN

PRINT AT(1,7);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000/FK5"

ELSE

PRINT AT(1,7);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM B1950/FK4"

ENDIF

PRINT AT(1,8);USING "AR.....: ## h ## m ##.### s",h,m,s

mw = DEG(d)

GOSUB sexa

PRINT AT(1,9);"DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s

IF ep$ = "J" THEN

GOSUB conv1

ELSE

GOSUB conv

ENDIF

mw = DEG(AR) / 15

GOSUB sexa

IF ep$ = "J" THEN

PRINT AT(1,10);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM B1950/FK4"

ELSE

PRINT AT(1,10);"ASTROMETR. ORT OBJEKT, MITTL. ÄQUINOKTIUM J2000/FK5"

ENDIF

PRINT AT(1,11);USING "AR.....: ## h ## m ##.### s",h,m,s

mw = DEG(d)

GOSUB sexa

PRINT AT(1,12);"DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s

PRINT AT(1,16);"PRIMÄRBRENNWEITE DER AUFNAHMEOPTIK: ";fo;" mm"

PRINT AT(1,17);"EFFEKTIVE BRENNWEITE: ";r;" mm"

PRINT AT(1,18);"VERGRÖSSERUNGSFAKTOR: ";v;"x"

PRINT AT(1,19);"MASSTAB: 1'' = ";f1;" mm AUF DEM NEGATIV"

PRINT AT(1,20);"MASSTAB: 1'' = ";f2;" mm AUF DER KOPIE/DIAPROJEKTION"

PRINT AT(1,21);"MASSTAB: 1 mm = ";f3;" '' AUF DER KOPIE/DIAPROJEKTION"

PRINT AT(1,23);"TASTE >1<"

PRINT AT(1,24);"TASTE >2<"

PRINT AT(1,25);"TASTE >S<"

w$ = UPPER$(INKEY$)

IF w$ = "1" THEN

GOSUB tafel

IF w$ = "1" THEN

GOSUB tafel

ENDIF

IF w$ = "2" THEN

GOSUB astrogra

ENDIF

EXIT IF w$ = "S"

LOOP

RETURN

PROCEDURE grad

j = 1

IF LEFT$(h$,1) = "-" THEN

j = -1

ENDIF

g = RAD(ABS(VAL(h$)) + m / 60 + s / 3600) * j

RETURN

PROCEDURE sexa

IF mw < 0 THEN

z$ = "-"

ELSE

z$ = "+"

ENDIF

g = ABS(mw)

h = FIX(g)

m = FIX((g - h) * 60)

s = ((g - h) * 60 - m) * 60

RETURN

PROCEDURE tafel

CLS

PRINT AT(15,1);" EINMESSUNG EINES KOORDINATENKREUZES "

PRINT AT(15,2);"STRENGE STANDARDKOORDINATEN X,Y DER REFERENZSTERNE"

PRINT AT(15,3);" WAHRS ÄQUINOKTIUM DES DATUMS "

u = 4

FOR i = 1 TO anz

u = u + 1

PRINT AT(1,u);i;") X: ";-r * x1(i);" mm, Y: ";r * y1(i);" mm"

NEXT i

PRINT AT(1,24);"TASTE >W<"

REPEAT

UNTIL UPPER$(INKEY$) = "W"

CLS

PRINT AT(15,1);"SCHEINBARE REKTASZENSION UND DEKLINATION"

PRINT AT(15,2);" WAHRES ÄQUINOKTIUM DES DATUMS"

u = 3

FOR i = 1 TO anz

u = u + 1

mw = DEG(ar(i)) / 15

GOSUB sexa

PRINT AT(1,u);i;USING ") AR: ## h ## m ##.### s",h,m,s;

mw = DEG(dek(i))

GOSUB sexa

PRINT ", DEKLIN.: ";z$;USING "## o ## ' ##.## ''",h,m,s

NEXT i

PRINT AT(1,23);"TASTE >1<"

PRINT AT(1,24);"TASTE >2<"

REPEAT

UNTIL UPPER$(INKEY$) = "1" OR UPPER$(INKEY$) = "2"

w$ = UPPER$(INKEY$)

IF w$ = "1" OR w$ = "2" THEN

GOTO j

ENDIF

LOOP

RETURN

PROCEDURE jd

jd = 1720994.5 + a2 + FIX(30.6001 * ((a3 - 12 * (a3 < 3)) + 1)) + FIX(f * 365.2425 * (a4 + (a3 < 3)))

RETURN

PROCEDURE ausgleich

REM AUSGLEICHSRECHNUNG NACH DER METHODE DER KLEINSTEN QUADRATE

REM ------------- NORMALGLEICHUNG ------------

REM n*c+[x]*a+[y]*b=[X] n*f+[x]*d+[y]*e=[Y]

REM [x]*c+[xx]*a+[xy]*b=[xX] [x]*f+[xx]*d+[xy]*e=[xY]

REM [y]*c+[xy]*a+[yy]*b=[yX] [y]*f+[xy]*d+[yy]*e=[yY]

xo = 0

yo = 0

xx = 0

yy = 0

xy = 0

x1 = 0

y1 = 0

xx1 = 0

yx1 = 0

xy1 = 0

yy1 = 0

xx2 = 0

yy2 = 0

FOR i = 1 TO anz

xo=xo+x(i) //xo=[x]

yo=yo+y(i) //yo=[y]

xx=xx+x(i)*x(i) //xx=[xx]

yy=yy+y(i)*y(i) //yy=[yy]

xy=xy+x(i)*y(i) //xy=[xy]

x1=x1+x1(i) //x1=[X]

y1=y1+y1(i) //y1=[Y]

xx1=xx1+x(i)*x1(i) //xx1=[xX]

yx1=yx1+y(i)*x1(i) //yx1=[yX]

xy1=xy1+x(i)*y1(i) //xy1=[xY]

yy1=yy1+y(i)*y1(i) //yy1=[yY]

xx2=xx2+x1(i)*x1(i) //xx2=[XX]

yy2=yy2+y1(i)*y1(i) //yy2=[YY]

NEXT i

m=3 //EINTRAG ANZAHL GLEICHUNGEN

n=3 //EINTRAG ANZAHL UNBEKANNTE

p1(1,1)=anz //anz=ANZAHL DER MESSUNGEN BZW. REFERENZPUNKTE

p1(1,2)=xo //p(m,n)=m=ZEILEN,n+1=SPALTEN; n+1=UNBEKANNTE+SUMME

p1(1,3) = yo

p1(1,4) = x1

REM ------------------------

p1(2,1) = xo

p1(2,2) = xx

p1(2,3) = xy

p1(2,4) = xx1

REM ------------------------

p1(3,1) = yo

p1(3,2) = xy

p1(3,3) = yy

p1(3,4) = yx1

FOR i = 1 TO m

FOR k = 1 TO n + 1

p(i,k) = p1(i,k)

NEXT k

NEXT i

REM KOEFIZIENT ------------------

GOSUB elim

koo(1)=ko(1) //c

koo(2)=ko(2) //a

koo(3)=ko(3) //b

REM Mittlerer Fehler der Koeffizienten a,b,c:

FOR i = 1 TO m

FOR k = 1 TO n + 1

p(i,k) = p1(i,k)

NEXT k

NEXT i

p(1,4) = 1

p(2,4) = 0

p(3,4) = 0

vvx = xx2 - x1 * koo(1) - xx1 * koo(2) - yx1 * koo(3)

an = anz - n

IF an = 0 THEN

an = 1

ENDIF

mfx = SQR(ABS(vvx) / an) * SGN(vvx)

GOSUB elim

mfc=mfx*SQR(ABS(ko(1)))*SGN(ko(1)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT c

FOR i = 1 TO m

FOR k = 1 TO n + 1

p(i,k) = p1(i,k)

NEXT k

NEXT i

p(1,4) = 0

p(2,4) = 1

p(3,4) = 0

GOSUB elim

mfa=mfx*SQR(ABS(ko(2)))*SGN(ko(2)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT a

FOR i = 1 TO m

FOR k = 1 TO n + 1

p(i,k) = p1(i,k)

NEXT k

NEXT i

p(1,4) = 0

p(2,4) = 0

p(3,4) = 1

GOSUB elim

mfb=mfx*SQR(ABS(ko(3)))*SGN(ko(3)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT b

CLS

PRINT AT(1,1);"PLATTENKONSTANTEN:"

PRINT AT(1,2);"a: ";koo(2);"; b: ";koo(3);"; c: ";koo(1)

PRINT AT(1,3);"mfa: ";mfa;"; mfb: ";mfb;"; mfc: ";mfc

PRINT AT(1,6);"NORMALGLEICHUNG x:"

PRINT "LINKE SEITE ";anz * koo(1) + xo * koo(2) + yo * koo(3);" = RECHTE SEITE ";x1

PRINT "LINKE SEITE ";xo * koo(1) + xx * koo(2) + xy * koo(3);" = RECHTE SEITE ";xx1

PRINT "LINKE SEITE ";yo * koo(1) + xy * koo(2) + yy * koo(3);" = RECHTE SEITE ";yx1

p1(1,1) = anz

p1(1,2) = xo

p1(1,3) = yo

p1(1,4) = y1

REM ------------------------

p1(2,1) = xo

p1(2,2) = xx

p1(2,3) = xy

p1(2,4) = xy1

REM -------------------------

p1(3,1) = yo

p1(3,2) = xy

p1(3,3) = yy

p1(3,4) = yy1

FOR i = 1 TO m

FOR k = 1 TO n + 1

p(i,k) = p1(i,k)

NEXT k

NEXT i

REM KOEFIZIENT --------------

GOSUB elim

ko1(1)=ko(1) //f

ko1(2)=ko(2) //d

ko1(3)=ko(3) //e

REM Mittlerer Fehler der Koeffizienten d,e,f:

FOR i = 1 TO m

FOR k = 1 TO n + 1

p(i,k) = p1(i,k)

NEXT k

NEXT i

p(1,4) = 1

p(2,4) = 0

p(3,4) = 0

vvy = yy2 - y1 * ko1(1) - xy1 * ko1(2) - yy1 * ko1(3)

an = anz - n

IF an = 0 THEN

an = 1

ENDIF

mfy = SQR(ABS(vvy) / an) * SGN(vvy)

GOSUB elim

mff=mfy*SQR(ABS(ko(1)))*SGN(ko(1)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT f

FOR i = 1 TO m

FOR k = 1 TO n + 1

p(i,k) = p1(i,k)

NEXT k

NEXT i

p(1,4) = 0

p(2,4) = 1

p(3,4) = 0

GOSUB elim

mfd=mfy*SQR(ABS(ko(2)))*SGN(ko(2)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT d

FOR i = 1 TO m

FOR k = 1 TO n + 1

p(i,k) = p1(i,k)

NEXT k

NEXT i

p(1,4) = 0

p(2,4) = 0

p(3,4) = 1

GOSUB elim

mfe=mfy*SQR(ABS(ko(3)))*SGN(ko(3)) //MITTL. FEHLER KOEFFIZIENT e

GOSUB elim

PRINT AT(1,4);"d: ";ko1(2);"; e: ";ko1(3);"; f: ";ko1(1)

PRINT AT(1,5);"mfd: ";mfd;"; mfe: ";mfe;"; mff: ";mff

PRINT AT(1,10);"NORMALGLEICHUNG y:"

PRINT "LINKE SEITE ";anz * ko1(1) + xo * ko1(2) + yo * ko1(3);" = RECHTE SEITE ";y1

PRINT "LINKE SEITE ";xo * ko1(1) + xx * ko1(2) + xy * ko1(3);" = RECHTE SEITE ";xy1

PRINT "LINKE SEITE ";yo * ko1(1) + xy * ko1(2) + yy * ko1(3);" = RECHTE SEITE ";yy1

AR = 0

de = 0

FOR i = 1 TO anz

AR = AR + ((x(i) - (x1(i) - (koo(2) * x(i) + koo(3) * y(i) + koo(1)))) / COS(do)) ^ 2

de = de + (y(i) - (y1(i) - (ko1(2) * x(i) + ko1(3) * y(i) + ko1(1)))) ^ 2

NEXT i

an = anz - 3

IF an = 0 THEN

an = 1

ENDIF

s1 = SQR(AR / an) / fo

s2 = SQR(de / an) * 15 / fo

PRINT AT(1,15);"MITTL. FEHLER PLATTENKONSTANTEN:"

PRINT AT(1,16);"MITTLERER FEHLER OBJEKT IN REKTASZENSION: ";s1;" ZEITSEK."

PRINT AT(1,17);"MITTLERER FEHLER OBJEKT IN DEKLINATION..: ";s2;" BOGENSEK."

PRINT AT(1,24);"TASTE >W<"

REPEAT

UNTIL UPPER$(INKEY$) = "W"

RETURN

PROCEDURE elim

FOR j=1 TO n-1 //GAUSS ELIMINATION

nr = j

no = ABS(p(j,j))

FOR i = j + 1 TO n STEP i //ZEILENPIVOT

noo = ABS(p(i,j))

EXIT IF (noo - no) < 0

no = noo

nr = i

NEXT i

IF nr = j THEN

GOTO jum1

ENDIF

FOR i = j TO m + 1

no = p(nr,i)

p(nr,i) = p(j,i)

p(j,i) = no

NEXT i

jum1:

FOR i = j + 1 TO m + 1 STEP i //ELIMINATION

p(j,i) = p(j,i) / p(j,j)

NEXT i

FOR i = j + 1 TO n

FOR k = j + 1 TO m + 1

p(i,k) = p(i,k) - p(j,k) * p(i,j)

NEXT k

NEXT i

NEXT j

ko(n)=p(n,n+1)/p(n,n) //RÜCKSUBSTITUTION

FOR j = n - 1 TO 1 STEP -1

ko(j) = p(j,n + 1)

FOR i = j + 1 TO n

ko(j) = ko(j) - p(j,i) * ko(i)

NEXT i

NEXT j

RETURN

PROCEDURE nut

REM DELAUNAY-ELEMENTE

d = FN r(5.198468 + 7771.37714 * t)

ll = FN r(6.24006 + 628.3019555 * t)

l = FN r(2.3555482 + 8328.691422 * t)

f = FN r(1.627903 + 8433.46615813 * t)

af = FN r(2.182438 - 33.757045 * t)

REM NUTATION IN LÄNGE

nu = -172000 * SIN(af) + 2060 * SIN(2 * af) - 1320 * SIN(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 1430 * SIN(ll)

nu = nu / 10000

REM NUTATION IN SCHIEFE

nu1 = 92025 * COS(af) - 895 * COS(2 * af) + 5740 * COS(2 * f - 2 * d + 2 * af) + 220 * COS(ll + 2 * f - 2 * d + 2 * af)

nu1 = nu1 / 10000

f7=0.409092804-0.00022696552*t //MITTLERE EKLIPTIKSCHIEFE

ec=f7+RAD(nu1/3600) //WAHRE EKLIPTIKSCHIEFE

REM lms,ms,ls = geometr. mittl. Länge der Sonne. mittl. Anomalie der Sonne, geometr. wahre L„nge der Sonne

lms = FN r(4.8951+ 628.33198 * t)

ms = FN r(6.24006 + 628.3019553261 * t)

c = 0.03342 * SIN(ms) + 0.00035 * SIN(2 * ms)

l = FN r(lms + c)

v = FN r(ms + c)

REM ds, ars = Deklin. und Rektaszension der Sonne ¥quinoktium des Datums JD

ds=ASIN(SIN(ec)*SIN(l)) //Deklin. Sonne

ys = SIN(l) * COS(ec)

xs = COS(l)

r1 = SQR(xs ^ 2 + ys ^ 2)

x1 = xs / r1

y1 = ys / r1

ars=FN r(ATN(y1/(1+x1))*2) //Rektaszension Sonne

e=0.01670862-0.000042037*t //Exentrizität

pe = RAD(102.937 + 0.71953 * t)

rs = 10 ^ (((3040 - 15 * t) + (-727600 + 1810 * t) * COS(ms) + (-9090 + 50 * t) * COS(2 * ms)) / 100000000)

RETURN

PROCEDURE appapos

d1 = dek(i)

a1 = ar(i)

t2 = (jdbeo - jdep) / 36525

IF ep$ = "J" THEN

GOSUB praez

ELSE

t2 = (jdbeo - jdep) / 36524.2198782

GOSUB praez1

ENDIF

GOSUB reduk

dek(i) = d + ded + dpa + dnu + dab + di

ar(i) = FN r(AR + ard + apa + anu + aab + ai)

RETURN

PROCEDURE app

d = dekap

AR = arap

p = 0

GOSUB reduk

dekm = dekap - (dpa + ded + dnu + dab + di)

arm = FN r(arap - (apa + ard + anu + aab + ai))

REM ----- PRÄZESSION ----------

t2 = (jdep - jdbeo) / 36525

d1 = dekm

a1 = arm

IF ep$ = "J" THEN

GOSUB praez

ELSE

t2 = (jdep - jdbeo) / 36524.2198782

GOSUB praez1

ENDIF

RETURN

PROCEDURE praez

REM ----- PRÄZESSION FK5 ----------

to = (jdep - 2451545) / 36525

w1 = RAD((2306.22 * t2) / 3600)

w2 = RAD((2306.22 * t2) / 3600)

w3 = RAD((2004.31* t2) / 3600)

d = ASIN(SIN(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) + COS(w3) * SIN(d1))

x = (COS(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) - SIN(w3) * SIN(d1)) / COS(d)

y = (COS(d1) * SIN(a1 + w1)) / COS(d)

AR = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)

RETURN

PROCEDURE praez1

REM ----- PRÄZESSION FK4----------

to = (jdep - 2433282.423459) / 36524.2198781

w1 = RAD((2304.95 * t2) / 3600)

w2 = RAD((2304.95 * t2) / 3600)

w3 = RAD((2004.26 * t2 ) / 3600)

d = ASIN(SIN(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) + COS(w3) * SIN(d1))

x = (COS(w3) * COS(d1) * COS(a1 + w1) - SIN(w3) * SIN(d1)) / COS(d)

y = (COS(d1) * SIN(a1 + w1)) / COS(d)

AR = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2 + w2)

RETURN

PROCEDURE reduk

REM -------- LICHTABLENKUNG ----------------

REM elo = Elongationswinkel bzw. Winkeldistanz Stern-Sonne.

abl = RAD(0.00407 / 3600)

elo = ACOS(SIN(ds) * SIN(d) + COS(ds) * COS(d) * COS(AR - ars))

ard = abl * COS(ds) * SIN(AR - ars) / (1 - COS(elo) * COS(d))

ded = abl * (SIN(d) * COS(ds) * COS(AR - ars) - COS(d) * SIN(ds)) / (1 - COS(elo))

REM ---------- JÄHRLICHE PARALLAXE ----------

apa = RAD((rs * p * (COS(AR) * COS(ec) * SIN(l) - SIN(AR) * COS(l)) * (1 / COS(d))) / 3600)

dpa = RAD((rs * p * (COS(d) * SIN(ec) * SIN(l) - COS(AR) * SIN(d) * COS(l) - SIN(AR) * SIN(d) * COS(ec) * SIN(l))) / 3600)

REM ---------- NUTATION --------------------

anu = (COS(ec) + SIN(ec) * SIN(AR) * TAN(d)) * RAD(nu / 3600) - COS(AR) * TAN(d) * RAD(nu1 / 3600)

dnu = (SIN(ec) * COS(AR) * RAD(nu / 3600) + SIN(AR) * RAD(nu1 / 3600))

REM --------- JÄHRL. ABERRATION (FIXSTERNABERRATION) ------

aab = -k1 * ((COS(AR) * COS(l) * COS(ec) + SIN(AR) * SIN(l)) / COS(d)) + e * k1 * ((COS(AR) * COS(pe) * COS(ec) + SIN(AR) * SIN(pe)) / COS(d))

dab=-k1*(COS(l)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(d)-SIN(AR)*SIN(d))+COS(AR)*SIN(d)*SIN(l))+e*k1*(COS(pe)*COS(ec)*(TAN(ec)*COS(d)-SIN(AR)*SIN(d))+COS(AR)*SIN(d)*SIN(pe))

REM ------- TÄGL. ABERRATION -----

di = RAD(-0.319 / 3600) * p1 * COS(br) * SIN(osz - AR) * SIN(d)

ai = RAD(-0.319 / 3600) * ((p1 * COS(br) * COS(osz - AR)) / COS(d))

RETURN

PROCEDURE sig

k = 0

vv = 0

FOR i = 1 TO ns

k = k + n(i)

NEXT i

mw=k/ns //ARITHMERTISCHER MITTELWERT

FOR i = 1 TO ns

vv=vv+(n(i)-mw)^2 //FEHLERQUADRATSUMME

NEXT i

IF ns > 1 THEN

sig=SQR(vv/(ns-1)) //STANDARDABWEICHUNG

mf=SQR(vv/(ns*(ns-1))) //MITTL. FEHLER DES MITTELSWERTES

ENDIF

RETURN

PROCEDURE osz

REM ORTSSTERNZEIT

sz = 6.697374558333 + 0.05133690722222 * t1

sz1 = 2400 * t1

sz1 = sz1 - INT(sz1 / 24) * 24

sz = sz + sz1

sz = sz - INT(sz / 24) * 24

sz = sz + ut * 1.002737909 + lgeo / 15 + ((nu * COS(ec)) / 15) / 3600

sz = sz - INT(sz / 24) * 24

osz = RAD(sz * 15)

RETURN

PROCEDURE conv

REM astrometrisch B1950/FK4 zu astrometrisch J2000/FK5

x = COS(dj) * COS(arj)

y = COS(dj) * SIN(arj)

z = SIN(dj)

REM Subktraktion der E-Terme

x1 = x - (-1.6E-06) + (x * (-1.6E-06)) * x

y1 = y - (-3.2E-07) + (y * (-3.2E-07)) * y

z1 = z - (-1.4E-07) + (z * (-1.4E-07)) * z

xo = 0.99993 * x1 - 0.011181 * y1 - 0.00486 * z1

yo = 0.01118 * x1 + 0.99994 * y1 - 0.00003 * z1

zo = 0.00486 * x1 - 0.00003 * y1 + 0.99999 * z1

t = (jdbeo - 2433282.423459) / 36525

x = xo + ((-0.00265 * x1 - 1.154 * y1 + 2.1111 * z1) / 1000000) * t

y = yo + ((1.1541 * x1 - 0.0129 * y1 + 0.0236 * z1) / 1000000) * t

z = zo + ((-2.1113 * x1 - 0.0056 * y1 + 0.01026 * z1) / 1000000) * t

ro = SQR(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2)

d = ASIN(z / ro)

x = x / (ro * COS(d))

y = y / (ro * COS(d))

AR = FN r(ATN(y / (1 + x)) * 2)

RETURN

PROCEDURE conv1

REM astrometrisch J2000/FK5 zu astrometrisch B1950/FK4

x = COS(dj) * COS(arj)

y = COS(dj) * SIN(arj)

z = SIN(dj)

xo = 0.99993 * x + 0.01118 * y + 0.00486 * z

yo = -0.01118 * x + 0.99994 * y - 0.00003 * z

zo = -0.00486 * x - 0.00003 * y + 0.99999 * z

t = (jdbeo - 2451545) / 36525

x = xo + ((-0.00265 * x - 1.154 * y + 2.1111 * z) / 1000000) * t

y = yo + ((1.1541 * x - 0.0129 * y + 0.0236 * z) / 1000000) * t

z = zo + ((-2.1113 * x - 0.0056 * y + 0.01026 * z) / 1000000) * t

REM Addition der E-Terme

x1 = x + (-1.63E-06) - (x * (-1.63E-06)) * x

y1 = y + (-3.2E-07) - (y * (-3.2E-07)) * y

z1 = z + (-1.4E-07) - (z * (-1.4E-07)) * z

ro = SQR(x1 ^ 2 + y1 ^ 2 + z1 ^ 2)

d = ASIN(z1 / ro)

x1 = x1 / (ro * COS(d))

y1 = y1 / (ro * COS(d))

AR = FN r(ATN(y1 / (1 + x1)) * 2)

RETURN

Bahnbestimmung der Planeten, Asteroiden, Kometen und Erdsatelliten. Die Bahnberechnung eines Kometen oder Planetoiden (bei Ersatelliten sind Beobachtungen von 2-3 Stationen notwendig) erfolgt nach Eingabe der 3 Positionsbestimmungen (t1,t2,t3). Bei Kleinplaneten sollte der Beobachtungszeitraum über insgesamt 3 bis 7 Wochen auseiannderliegen, bei Kometen - falls nahe der Sonne - auch kürzer. Die Ortsbestimmung t2 sollte möglichst nahe der Zeitraummitte liegen. Die Beobachtung von Kometen und Planetoiden um die Oppositionszeit ist günstiger, da das Gestirn um Mitternacht den höchsten Stand über dem Horizont einnimmt.

Klassische Bahnelemente (Äquinoktium J2000) aus 3 Ortsbestimmungen ergibt : Große Bahnhalbache a = 2.765713 AE, Exentrizität e = 0.0784195, Perihelargument z = 72.0568°, aufsteigender Bahnknoten W = 80.69281°, Bahnneigung gegen die Ekliptik i = 10.60626°, mittlere Anomalie M = 202.76364°, tägl. Begwegung n = 0.21428582°, E (Epoche) = 1988,9,5.045255 TDT, Periheldurchgang T = 1986,2,1.803826 TDT, Umlaufzeit U = 4.5994 Jahre. Wie diese Bahnelemente zeigen, handelt es sich um den von Mönch Giuseppe Piazzi in der Neujahresnacht am 1.1.1801 in Palermo erstentdeckten Kleinplaneten, dem er den Namen Ceres verlieh.

Die genaue Bahnlage (Äquinoktium des Datums) im Sonnensystem (mit Positionsmarkierung auf der Bahn) wird danach iedergegeben - mit heliozentrischer und geozentrischer (auf Sonne und Erde bezogenen) tab. Positionswerten. Nach obigen Bahnelementen berechnete Position am 5.9.88, 1h4m14s UT: b = -10.6014°, l = 351.4994°, r = 2.96799 AE (= auf die Sonne bezogene, geometrische heliozentrische ekl. Br., Länge und Entfernung, mittleres Äquinoktium des Datums); b = -15.789°, k = 357.3014° , Ê = 2.0059 AE (= auf die Erde bezogene, astrometrische topozentrische ekliptikale Breite, Länge und Entfernung, Äquinoktium J2000); a= 0h15m52.11s, d = -15°31'59.7'', Ê = 2.0059 AE (auf die Erde bezogen topozentrische astrometrische Koordinaten, Rektaszension, Deklination und Entfernung, Äquinoktium J2000).

Die Objekte können nach astrometrischen Koordinaten (= mittlerer Ort zur Epoche mit Lichtzeitkorrektur) in Sternatlanten (z. B. Atlas Stellarum oder Falkauer Atlas u.a.) derselben Epoche (mittleres Äquinoktium B1950 oder J2000) eingezeichnet werden.

Daneben werden sog. scheinbare Koordinaten angegeben, die den Gestirnsort bezeichnen, wie er am Himmel erscheint (ohne Refraktion), den unmittelbaren mit Meßinstrumenten (Theodoliten u.a.) oder Fernrohrteilkreisen einstellbaren genauen Ort zu erhalten.

Sämtliche auf dem Himmelsglobus wiedergegebene Positionen stets in scheinbaren Koordinaten, Äquinoktium des Datums. Die heliozentrische ekliptikale Länge und Breite (l, b) ist der auf die Sonnenmitte bezogene geometrische Gestirnsort (= mittleres Äquinoktium des Datums ohne Lichtzeitberücksichtigung). Die Orts- und Bahnbestimmung von Planeten und Kometen ist analog durchzuführen.

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